Hingga saat ini, integral telah menjadi alat kita untuk mengukur ruang antara satu kurva dan tanah statis sumbu-x. Tapi bagaimana jika lantainya sendiri bergerak? Dalam pelajaran ini, kita melampaui sumbu dan belajar menghitung luas daerah yang terjepit di antara dua batas fungsional yang independen, $f(x)$ dan $g(x)$.
Geometri Perbedaan
Untuk mencari luas $A$ dari suatu daerah $S$ yang dibatasi oleh $y = f(x)$ dan $y = g(x)$ antara $x = a$ dan $x = b$, kita menggunakan logika jumlah Riemann yang sama yang membentuk dasar kalkulus.
Perluasan Riemann
Kita membagi daerah menjadi $n$ pita vertikal. Jika $x_i^*$ adalah titik contoh dalam interval ke-$i$, maka tinggi persegi panjang pendekatan bukan hanya $f(x_i^*)$, tetapi perbedaan antara tinggi kurva atas dan bawah:
$$h = f(x_i^*) - g(x_i^*)$$
Penjumlahan hingga Integrasi
Ketika kita meningkatkan jumlah pita hingga tak hingga ($n \to \infty$), jumlah luas persegi panjang ini konvergen menuju integral tentu:
Formula Inti:
$$A = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} [f(x_i^*) - g(x_i^*)] \Delta x = \int_a^b [f(x) - g(x)] dx$$
dengan $\Delta x = \frac{b-a}{n}$.
Aturan Selisih Mutlak
Bagaimana jika kedua kurva saling berpotongan? Jika kita langsung mengintegralkan $f-g$ sementara $g$ sebenarnya berada di atas $f$, kita akan mendapatkan hasil negatif. Untuk memastikan kita selalu menghitung besaran dari luas, kita gunakan nilai mutlak:
$$A = \int_a^b |f(x) - g(x)| dx$$
🎯 Teorema Rumus Luas
Jika $f$ dan $g$ adalah fungsi kontinu dan $f(x) \ge g(x)$ untuk semua $x$ dalam $[a, b]$, maka luas $A$ dari daerah yang dibatasi oleh $y = f(x)$, $y = g(x)$, $x = a$, dan $x = b$ adalah:
$$A = \int_a^b [f(x) - g(x)] dx$$
Contoh 1: Eksponensial vs. Linier
Carilah luas yang dibatasi di atas oleh $y = e^x$, di bawah oleh $y = x$, dari $x = 0$ sampai $x = 1$.
$$A = \int_0^1 (e^x - x) dx = [e^x - \frac{1}{2}x^2]_0^1 = (e - \frac{1}{2}) - (e^0 - 0) = e - 1.5 \approx 1.218$$